包络定理例题？

一、包络定理例题？

包络定理是在最大值函数与目标函数的关系中，我们看到，当给定参数 a 之后，目标函数中的选择变量 x 可以任意取值。如果 x 恰好取到此时的最优值，则目标函数即与最大值函数相等。

包络定理即分析参数对函数极值的影响，按情况可分为无约束极值和条件极值。

主要应用

无约束极值

考虑含参量a的函数f(x,a)的无条件极值问题（x是内生变量，a是外生变量）。

显然，一般地其最优解V是参量a的函数，即V(a)。

包络定理指出：V对a的导数等于f对a的偏导数（注意是f对“a所在位”变量的偏导数）。

而且，我们还可以注意到，当目标函数与最大值函数恰好相等时，相 应的目标函数曲线与最大值函数曲线恰好相切，即它们对参数的一阶导数相等。对这一 特点的数学描述就是所谓的“包络定理”。

数理表示：dΦ/da=∂f/∂a(x=x*)

条件极值

包络定理指出，某参数对目标函数极值的影响，等于拉格朗日函数直接对该参数求偏导数，并在最优解处取值的情况。在微观经济学中有广泛应用。

数理表示：dΦ/da=∂L(x,a,λ)/∂a(x=x*)=∂f/∂a-λ∂g/∂a

二、终值定理例题？

【例题•计算题】甲企业现将1000万元资金用于委托理财，以期年收益率为10%，期限3年，请问3年后能取得到期本息多少万元？

『正确答案』

　　F＝P×（F/P，i，n）

　　F＝1000×（F/P，10%，3）

　　＝1331（万元）

　　【例题•计算题】甲企业的投资活动经过3年建设期后从第4年年末到第10年年末每年能收回600万元，若利率为10%，请问该投资的规模为多大时才合算？

『正确答案』

　　P＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

　　P＝600×（P/A，10%，7）×（P/F，10%，3）

　　＝2194.58（万元）

　　投资规模小于等于2194.58万元时才合算。

三、均值定理例题？

均值定理：

　　已知x，y∈R+，x+y=S，x·y＝P

　　(1)如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；

　　(2)如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。

　　或

　　当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab (定值）当且仅当a=b时取等号 。

　　（3）设X1，X2，X3，……，Xn为大于0的数。

　　则X1+X2+X3+……+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn

　　（一定要熟练掌握）

　　当a、b、c∈R+， a + b + c = k（定值）时， abc≤((a+b+c)/3)3=k^3/27 (定值） 当且仅当a=b=c时取等号。

　　例题：1。求x+y-1的最小值。

　　分析：此题运用了均值定理。∵x+y≥2√xy。 ∴x+y-1≥2√xy -1

四、stolz定理例题？

例题1：若 limn→∞an=L （ L为有限数或+∞ 或 −∞ ），证明： limn→∞a1+a2+⋯+ann=limn→∞an

解

由Stolz定理知：

limn→∞a1+a2+⋯+ann

=limn→∞(a1+a2+⋯+an)−(a1+a2+⋯+an−1)n−(n−1)

=limn→∞an

例题2：若 an＞0，limn→∞an=L （ L为有限数或+∞ 或 −∞ ），证明： limn→∞a1a2⋯ann=limn→∞an

解：

a1a2⋯ann=eln⁡a1+ln⁡a2+⋯+ln⁡nn

limn→∞ln⁡a1+ln⁡a2+⋯+ln⁡nn

=limn→∞(ln⁡a1+ln⁡a2+⋯+ln⁡an)−(ln⁡a1+ln⁡a2+⋯+ln⁡an−1)n−(n−1)

=limn→∞ln⁡an

故 limn→∞a1a2⋯ann=limn→∞eln⁡an=limn→∞an

五、hall定理例题？

Hall定理是二分图匹配问题中匈牙利算法的基础。

中文名

Hall定理

适用领域范围

X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻

适用领域范围

二分图匹配问题

推导结论

匈牙利算法

Hall定理：

此定理使用于组合问题中，二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X, Y, X={X1, X2, X3,X4,.........,Xm}, Y={y1, y2, y3, y4 ,.........,yn},G中有一组无公共点的边，一端恰好为组成X的点的充分必要条件是：

X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻。（1≤k≤m)

本论还有一个重要推论：

二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X,Y, 若∣X∣=∣Y∣,且G中有一组无公共端点的边，一端恰好组成X中的点，一端恰好组成Y中的点，则称二部图G中存在完美匹配。若图G的每个点度数为t，则称二部图G为t---正则的二部图存在完美匹配。

六、诺顿定理例题详解？

诺顿定理

任何一个，含有线性一端口的电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联来等效替代，电流源的电流等于该电路的短路电流，电阻则为电路的等效电阻。

通过一道例题来了解一下诺顿定理

例题

先求短路电流

电路较为简单，我们使用叠加原理，来求。

首先是电压源单独作用，此时电流源开路，电路中只有电压源和两个电阻串联。

电压源作用

电流1=20V/20欧=1A

然后是电流源单独作用，此时电压源为短路，相当于一根导线，电路中两个电阻就相当于并联了。每个电阻分的电流源一半的电流，也就是0.5A

然后我们再把电流叠加起来，就求得了isc=1+0.5=1.5A。

七、贝叶斯定理经典例题？

01 出租车问题

第一个被称为出租车问题，学术界对这个问题的研究已经超过30年。

某个夜晚，一辆出租车肇事后逃逸。该城市共有两家出租车公司，一家公司的出租车均为绿色（“绿色”公司），拥有出租车数量为全市出租车总数的85%；另一家公司的出租车均为蓝色（“蓝色”公司），拥有出租车数量为全市出租车总数的15%。一名目击者称肇事出租车是“蓝色”公司的。法院对目击者的证词进行了测试，发现目击者在出事当时那种情况下正确识别两种颜色的概率是80%。那么肇事出租车是蓝色的概率是多少（用百分数表示，范围从0%到100%）？

被试被告知不必精确计算答案，只需要给出一个大致的估计值。考察的关键点不在于答案的精确度，而在于人们的估计是否在一个大致正确的范围内。很遗憾，许多人的答案并不在这个范围内。

在出租车问题上，贝叶斯定理提供了一个最佳方法，即将给定的以下两条信息结合起来分析：

15%的出租车是蓝色。

目击者认为该出租车是蓝色的（识别准确率为80%）。

大多数人并不能自然地将两条信息综合考虑。事实上，很多人在知道了肇事出租车为蓝色的概率只有0.41后感到很震惊，因为他们没有意识到尽管目击者声称肇事车辆是蓝色的，但是肇事出租车仍更可能是绿色的（0.59），而非蓝色的（0.41）。原因是出租车是绿色的先验概率（85%）高于目击者识别出租车为蓝色的可信度（80%）。

如果不使用贝叶斯计算公式，我们来看一下0.41的概率是如何得到的：

在100起此类事故中，15辆出租车是蓝色的，而目击者能够正确辨认其中的80%（12辆）；同样在这100起事故中，有85辆出租车是绿色的，而目击者会将其中的20%（17辆）辨认为蓝色。因此，将会有29（12+17）辆出租车被辨认为蓝色，而事实上只有12辆是蓝色的，所以肇事出租车是蓝色的概率为41%。

02 医疗风险评估

第二个例子与出租车问题的逻辑相同，但是更贴近日常生活，涉及医疗风险评估的问题，同样被许多研究所关注：

假设XYZ病毒能够引起严重的疾病，该病发病率为千分之一。假设有一种化验方法，可以精准地检测到该病毒。也就是说，如果一个人携带XYZ病毒，一定可以被检测出来。但是该项化验的假阳性率为5%，即健康人接受该项化验，会有5%的可能性被误诊为病毒携带者。假设从人群中随机选择一人进行检测，化验结果为阳性（阳性意味着受检者可能是XYZ病毒携带者）。那么，在不考虑具体症状、病史等情况下，此人携带XYZ病毒的概率是多少？（用百分数表示，范围从0到100%。）

最常见的答案是95%，而正确答案是约为2%！人们极大地高估了阳性结果代表个体为XYZ病毒携带者的概率，这与出租车问题一样，人们倾向于重视具体信息，而忽视基础概率信息。

尽管使用贝叶斯法则能够计算出正确答案，但是简单的数学推理也能帮助我们厘清基础概率对预估结果产生的巨大影响。我们已知的信息是：每1000人中只有1人是真正的XYZ病毒携带者。如果另外999位未携带病毒者全部接受化验，由于化验的假阳性率为5%，那么将有约50人的检测结果呈假阳性（0.05乘以999），因此有51人检测结果呈阳性，而实际上只有1人（约2%）为真的病毒携带者。

总之，由于XYZ病毒的基础感染率非常低，绝大多数人并未感染，再加上较高的化验假阳性率，因此可以推断大部分检查结果为阳性的人并非病毒携带者。

八、控制收敛定理例题？

有没有学过Dirichlet判别法?

如果数列a[n]单调趋于0, 同时级数∑b[n]的部分和有界, 则级数∑a[n]·b[n]收敛.

取a[n] = 1/n, 易见其单调趋于0.

取b[n] = cos(n), 有

b[1]+b[2]+...+b[n] = cos(1)+cos(2)+...+cos(n)

= (2cos(1)sin(1/2)+2cos(2)sin(1/2)+...+2cos(n)sin(1/2))/(2sin(1/2))

= (sin(3/2)-sin(1/2)+sin(5/2)-sin(3/2)+...+sin(n+1/2)-sin(n-1/2))/(2sin(1/2))

= (sin(n+1/2)-sin(1/2))/(2sin(1/2)),

可知|b[1]+b[2]+...+b[n]| ≤ 1/sin(1/2), 故∑b[n]的部分和有界.

根据Dirichlet判别法, 级数∑a[n]·b[n] = ∑cos(n)/n收敛.

九、卡氏定理例题？

卡氏第一定理，计算弹性体位移的一个定理，是意大利工程师A.卡斯蒂利亚诺（Carlo Alberto Castigliano）于1873年提出的。 由弹性体的位移计算力的一个定理，是意大利工程师A.卡斯蒂利亚诺（Carlo Alberto Castigliano）于1873年提出的。它可叙述为：若弹性体上作用有n个广义力P1，P2，…，Pn，在它们的共同作用下沿每个广义力方向的位移分别为δ1，δ2，…，δn，则由广义位移表示的应变能U对某个广义位移δi的偏导数等于和δi相应的广义力Pi。 这一定理已被广泛用来求解弹性物体(特别是工程结构)的广义力，只要解出上述n个方程式就能求出n个未知广义力P1，P2，…，Pn。这一定理对线性或非线性弹性体都适用。

十、亨利定理的例题？

10^5是101325的近似值吧，H2质量等于nM,n=v/22400